第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试卷含答案（二组二试）

第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）一、填空题（共3题，每题10分）1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是　　．2．（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于　　．3．（10分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝|1，那么S4﹣S3＝　　．二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？5．（10分）将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+ak能被ak+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？6．（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个|帐篷分配1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资．问：这个安置点最少有多少顶帐篷？第6页（共6页）

1第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（二组二试）参考答案与试题解析一、填空题（共3题，每题10分）1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是　x≤　．【分析】按题意，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，可以分情况讨论，分三种情况：x＜﹣2；x＞1；﹣2≤x≤1故可以去掉绝对值，再求解．【解答】解：根据分析，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，先|去绝对值，分三种情况：①x＜﹣2时，x+2＜0；x﹣1＜0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒﹣（x+2）﹣（1﹣x）≤2⇒﹣3≤2，成立；∴x＜﹣2；②x＞1时，x+2＞0；x﹣1＞0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（x﹣1）≤2⇒2+1≤2，（不符合，舍去）；③﹣2≤x≤1时，x+2≥0；x﹣1≤0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（1﹣x）≤2⇒2x+1≤2⇒x≤；∴﹣2≤x≤．综上，x≤时，满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤2，即此时x不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2．故答案是：x≤．2．（10|分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于　141　．【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15＝225人，设有k个方阵，那么8n＝225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141．【解答】解：设有k个方阵，那么8n＝225k+3，当k＝1时，225+3＝228，不是8的倍数；不符合题意；当k＝2时，225×2+3＝453，不是8的倍数，不符合题意；当k＝3时，225×3+3＝678，不是8|的倍数，不符合题意；当k＝4时，225×4+3＝903，不是8的倍数，不符合题意；当k＝5时，225×5+3＝1128，是1128÷8＝141；第6页（共6页）

2答：k最小为5时，n最小为141．故答案为：141．3．（10分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝　3　．【分析】解：如图，，连接AP、BP、CP，根|据勾股定理，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2，BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2，CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2，所以AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3，据此解答即可．第6页（共6页）

3【解答】解：如图，，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2＝AF2+FP2…①，BP2＝BF2+FP2…②，①﹣②，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2…③，同理，可得BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2…④，|同理，可得CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2…⑤，③+④+⑤，可得AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2，所以（AF2+BD2+CE2）＝×（BF2+CD2+EA2），因此S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3故答案为：3．二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？【分析】首先得到从1到13点的13|张扑克牌中有1～12的差，进一步得到出现2an＝am+al（m＞n＞l）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，再根据抽屉原理即可求解．【解答】解：设至少挑出n张牌，但是{1，2，3，5，8，13}中没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，所以n≥6，若n＝7，所取的7张牌，从小到大排列为：{a1，a2，…，a7}，任取2个am和an，设am＞an，第6页（共6页）

4则＝21个在1～12的差，这些差中（1）不可能出现am﹣an＝ak﹣an，（2）若有am﹣an＝an﹣al，即2an＝am+al（|m＞n＞l），则不能有m1≠m，l1≠l（m1＞n＞l1），使得2an＝am1+al1，否则存在2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，即对于同一个n，出现am﹣an＝an﹣al或2an＝am+al（m＞n＞l）具有唯