试谈布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展

编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第41页共41页第七章布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展在第六章中，我们在一系列假定条件下推导得到了著名的布莱克－舒尔斯期权定价公式，在现实生活中，这些假设条件往往是无法成立的，本章的主要目的，就是从多个方面逐一放松这些假设，对布莱克－舒尔斯期权定价公式进行扩展。但是我们也将看到，在有些时候，模型在精确度方面确实获得了相当的改进，但其所带来的收益却无法弥补为达到改进而付出的成本，或是这些改进本身也存在问题，这使得布莱克－舒尔斯期权定价公式仍然在现实中占据重要的地位。第一节布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷在|实际经济生活中，布莱克-舒尔斯期权定价模型（为简便起见，我们后文都称之为BS模型）应用得非常广泛，对金融市场具有很大的影响。其三个作者中的两个更是曾经因此获得诺贝尔奖。因此，无论是从商业上还是从学术上来说，这个模型都非常成功。但是理论模型和现实生活终究会有所差异，对于大多数理论模型来说，模型假设的非现实性往往成为模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。本章的主要内容，就是从多方面逐一放松BS模型的假设，使之更符合实际情况，从而实现对BS定价公式的修正和扩展。BS模型最基本的假设包括：1.没有交易成本或税收。2.股票价格服从波动率和无风险利率为常数的对数正态分布。3.所有|证券都是高度可分的且可以自由买卖，可以连续进行证券交易。4.不存在无风险套利机会。在现实生活中，这些假设显然都是无法成立的。本章的后面几节，将分别讨论这些假设放松之后的期权定价模型。1.交易成本的假设：BS模型假定交易成本为零，可以连续进行动态的套期保值，从而保证无风险组合的存在和期权定价的正确性。但事实上交易成本总是客观存在的，这使得我们无法以我们所希望的频率进行套期保值；同时，理论上可行的价格，考虑了交易成本之后就无法实现预期的收益。我们将在第二节中介绍一些对这一假设进行修正的模型。2.波动率为常数的假设：BS模型假定标的资产的波动率是一个已知的常数或者是一个确定|的已知函数。这一点在标的资产价格的实证检验中被否定，期权市场本身反映的隐含波动率也提出了相反的证据。实际上波动率本身就是一个随机变量。为了解决这个问题，人们从两个角度来对BS模型进行修正：从期权价格的隐含波动率中获取波动率的信息，来为期权定价；从标的资产市场出发获取波动率变化过程的信息，对BS公式进行修正和扩展。我们将在第三节和第四节讨论这个问题。3.不确定的参数：BS模型假设波动率、利率、股利等参数都是已知的常数（或是已知的确定函数）。但事实上它们都不是一个常数，甚至也不是一个时间和标的资产价格的确定函数，波动率甚至完全无法在市场观察到，也无法预测。第41页共41页|

1编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第41页共41页这时可以采取的方法之一是为这些参数的价值确定一个变动区间，从而在最糟糕的情景下为期权定价。我们将在第五节介绍这一方法。4.资产价格的连续变动：BS模型假定标的资产的价格是连续变动的，服从对数正态分布。然而在我们的市场中，不连续是常见的：资产价格常常跳跃，并且经常是向下跳跃。这在对数正态分布的资产定价模型中并没有体现出来：对于正态分布来说，这些突然变动的幅度太大，发生太过频繁；同时，由于跳跃来得太突然，这使我们无法单纯依靠对数正态扩散模型对它们进行动态保值。因此我们需要在模型中考虑跳跃|的情形，同时我们也需要考察在极端变动的情况下，可能导致的最差结果。我们将在第六节和第七节中对跳跃扩散模型和崩盘模型进行分析，讨论这些问题。第二节交易成本BS期权定价公式的一个重要假设就是没有交易成本，在此基础上，BS公式的分析过程要求对股票和期权组合进行连续的调整再平衡，以实现无风险定价策略。在实际生活中，这个假设显然是难以成立的。即使交易成本很低，连续的交易也将导致很高的交易费用；即使只进行离散的保值调整，但只要进行交易，投资者就必须承担或多或少的交易成本。一般来说，交易成本在以下两种情形下是尤其重要的：1.在一个交易费用很高的市场中进行保值操作，比如股票市场和新兴|证券市场。2.组合头寸经常需要进行调整。其中包括处于平价状态附近的期权和即将到期的期权，这样的期权的套期比率对标的资产价格的变动最为敏感，从而导致调整频率较高。所以，交易成本在期权价格的确定当中是不可忽略的部分。因此，人们对存在交易费用的情形进行了考察，并得到了基于BS公式的一些修正模型。值得注意的是，在美国，主要的证券市场都实行专家（Specialists）或做市商(Market-maker)制度，因此，这里的交易成本主要是指在标的资产买卖过程中发生的买卖价差（Bid-offerSpread）。一、交易成本的影响分析交易成本的存在，会影响我们进行套期保值的次数和期权|价格：交易成本一方面会使得调整次数受到限制，使基于连续组合调整的BS模型定价成为一种近似；另一方面，交易成本也直接影响到期权价格本身，使得合理的期权价格成为一个区间而不是单个数值，同时许多理论上值得进行的策略，一旦考虑交易成本之后，就变得不可行。进一步来看，交易成本的影响具有以下两个性质：1.规模效应和交易成本差异化。不同的投资者需要承担的交易成本是不一样的，交易规模越大，成本的重要性程度越低。这就意味着与基本的BS定价公式相悖，现实世界中并不存在唯一的期权价值，而是有赖于投资者的具体情况，相同的合约对于不同的投资者具有不同的价值。2.即使是同一个投资者，在调整过程中|，持有同一个合约的多头头寸和空头头寸，价值也不同。为什么呢？这是因为交易成本对于保值者来说总是一种沉没第41页共41页

2编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第41页共41页成本，无论是多头还是空头，对保值成本的估计都必须从期权价值中扣除。这样一个投资者会认为多头的价值低于BS公式理论价值，而空头价值则应高于理论价值。因此，交易成本的存在，实际上意味着动态保值不再产生期权价格