Lyapunov方程求解文档 精品资料

广西大学实验报告纸姓名：成绩：学院：电气工程学院专业：班级：实验内容：Lyapunov方程求解2015年月日【实验时间】2015年6月22日【实验目的】掌握求解Lyapunov方程的一种方法，了解并使用MATLAB中相应函数。【实验设备与软件】硬件：PC机一台；软件：MATLAB/Simulink。【实验原理】1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。线性|定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。2、在MATLAB控制工具箱中，函数lyap和dlyap用来求解lyapunov方程。P=lyap（,Q)可解连续时间系统的lyapunov方程，其中，Q和A为具有相同维数的方阵（A是系统矩阵）。如果Q是对称的，则解P也是对称的。P=dlyap（，Q）可解离散时间系统的lyapunov方程，其中，Q和G为具有相同维数的方阵(G是系统矩阵)。如果Q是对称的，则解P也是对称的。3、连续情况下的最小相|位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。【实验内容、方法、过程与分析】题目1实验内容：输入连续状态空间模型:

1（1）选取正定矩阵,求稳定性判别矩阵P，判定系统是否稳定。（2）求线性系统阶跃响应曲线，并判定是否为最小相位系统，（3）求系统的实现，判定是否是最小实现并比较。题目1实验过程及结果分析：根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的c文件程序：①、由实验c文件程序运行后结果：得到正定矩阵P：②、由题意得出系统的响应曲线：

2由图可知：该系统是渐进稳定的。求特征根由结果可以得出，此系统特征根的实部全部都为负数，亦全部的根都在|左边平面。所以该系统为最小相位系统。所以，根据题意，更改A矩阵，求其阶跃响应曲线，并进行比较得：之前的A矩阵：更改之前的特征值：

3更改前的阶跃响应：更改之后的A矩阵：更改之后的特征值：

4更改后的阶跃响应：对比特征值可知，更改矩阵A后特征根有一个为正数，即在右半平面；对比阶跃响应图可知，更改矩阵A后，其阶跃响应为发散的。题目2实验内容：输入离散状态空间模型(1)选定正定矩阵,求稳定性判别矩阵P。(2)请定义离散情况下的最小相位系统。(3)求线性系统阶跃响应曲线，并按你所定义的判别矩阵是否为最小相位系统。题目2实验过程及结果分析：

5根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做|出如下的c文件程序：①、由实验c文件程序运行后结果：得到矩阵P：由图可知：得到的矩阵P是非正定的。②、由题意得出系统的响应曲线：

6由图可知：阶跃响应发散，该系统是不稳定的。系统不稳定，所以不是最小相位系统。之前的G矩阵：更改之前的特征值：更改前的阶跃响应：

7更改之后的G矩阵：更改之后的特征值：更改后的阶跃响应：对比更改前后特征值可知，更改矩阵G后特征根全部为负数，即在右半平面。对比阶跃响应图可知，更改矩阵G后，其阶跃响应为收敛的。【实验总结】1、通过本次实验了解并掌握了Lyapunov方程的一种用MATLAB求解的方法，并熟悉了线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据和求解ly|apunov方程的一些函数。

8附录资料：MATLAB的30个方法1内部常数pi圆周率exp(1)自然对数的底数ei或j虚数单位Inf或inf无穷大2数学运算符a+b加法a-b减法a*b矩阵乘法a.*b数组乘法a/b矩阵右除ab矩阵左除a./b数组右除a.b数组左除a^b矩阵乘方a.^b数组乘方-a负号'共轭转置

9.'一般转置3关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于~=不等于4常用内部数学函数 指数函数exp(x)以e为底数对数函数log(x)自然对数，即以e为底数的对数log10(x)常用对数，即以10为底数的对数log2(x)以2为底数的x的对数开方函数sq|rt(x)表示x的算术平方根绝对值函数abs(x)表示实数的绝对值以及复数的模三角函数sin(x)正弦函数

10（自变量的单位为弧度）cos(x)余弦函数tan(x)正切函数cot(x)余切函数sec(x)正割函数csc(x)余割函数反三角函数 asin(x)反正弦函数acos(x)反余弦函数atan(x)反正切函数acot(x)反余切函数asec(x)反正割函数acsc(x)反余割函数双曲函数 sinh(x)双曲正弦函数cosh(x)双曲余弦函数tanh(x)双曲正切函数coth(x)双曲余切函数sech(x)双曲正割函数csch(x)双曲余割函数反双曲函数 asinh(x)反双曲正弦函|数acosh(x)反双曲余弦函数atanh(x)反双曲正切函数acoth(x)反双曲余切函数asech(x)反双曲正割函数acsch(x)反双曲余割函数求角度函数atan2(y,x)以坐标原点为顶点，x

11轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度，范围为（，]数论函数gcd(a,b)两个整数的最大公约数lcm(a,b)两个整数的最小公倍数排列组合函数factorial(n)阶乘函数，表示n的阶乘 复数函数 real(z)实部函数imag(z)虚部函数abs(z)求复数z的模angle(z)求复数z的辐角，其范围是（，]conj(z)求复数z的共轭复数求整函数与截|尾函数ceil(x)表示大于或等于实数x的最小整数floor(x)表示小于或等于实数x的最大整数round(x)最接近x的整数最大、最小函数max([a，b，c，．．．])求最大数min([a，b，求最小数

12c，．．])符号函数 sign(x)5