用推理方法研究四边形(矩形和菱形)

27.３.1用推理方法研究四边形(2)第2课时（一）本课目标1．探索矩形和菱形的性质定理、判定定理的证明方法．2．利用矩形的性质定理证明直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，并会运用该定理解决有关问题．（二）教学流程1．情境导入互动1师：生活中有哪些实物是矩形？菱形？生：黑板、门框、方桌面、本子……是矩形，有些窗格、活动衣帽架……是菱形．师：很好，那么矩形，菱形都有哪些性质呢？明确鼓励学生多作回答，使学生尽快回忆两者的性质．2．课前热身互动2师：可以从边、角、对角线几方面去回忆．生：（学生作答）师：矩形、菱形又有哪些判定方法？生：（学生作|答）明确回顾矩形、菱形的性质及判别方法，为下面证明它们作铺垫．3．合作探究（1）整体感知在原有知识的基础上进一步探索证明方法．（2）四边互动互动3师：下面，先来看矩形的性质怎样证明，矩形的定义是什么？生：有一个角是直角的平行四边形是矩形．师：由平行四边形对角相等的性质，可以得到：矩形四个角都是直角．（板书）又怎样证明矩形的对角线相等呢？生：（画图，如图所示，写出已知、求证）师：要证AC=BD，可以证△ABC≌△DCB，证明过程请同学自己完成．生：（教师指导学生证明）师：再来看菱形．菱形的定义是什么？

1生：有一组邻边相等的平行四边形是菱|形．师：由平行四边形对边相等的性质，可以得到：菱形四条边都相等．（板书）那么又该如何证明菱形的对角线的性质呢？生：（画图如图所示，写出已知、求证）师：要证AC⊥BD且AC平分∠DAB，让我们联想到等腰三角形的“三线合一”的性质．如果能证明△ABD是等腰三角形且AC平分BD，就解决了．你能试试吗？生：由菱形四条边都相等，要证△ABD是等腰三角形很容易．要证AC平分BD，只要利用菱形也是平行四边形即可．（教师指导写出证明过程）．明确定义及矩形、菱形是特殊的平行四边形这一特点在证明中发挥了重要作用．互动4师：如图所示，矩形ABCD中，AC、B|D交于O点，对角线则有什么性质．生：AC=BD．且AO=CO=AC，BO=DO=BD．师：于是得到AO=BO=CO=DO．下面，我们把目光集中在△ABC上，首先发现△ABC是什么三角形？生：直角三角形．师：BO是△ABC的斜边上的中线，那么BO与AC有什么关系？生：BO=AC．师：不错．（板书定理）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请学生阅读课本第49页的证明思路，自己写出证明过程．生：（教师指导学生自学完成）明确由矩形中分解出直角三角形，这是数学中研究问题的一种常用方法．互动5师：以上证得的性质定理的逆定理均可作为判定定理．（板|书）定理：有三个角是直角的四边形是矩形．定理：四条边相等的四边形是菱形．

2可以怎样证明？生：（教师引导学生从矩形、菱形的定义来考虑、回答）师：从对角线之间的关系怎样判定矩形或菱形呢？生：（教师引导学生从判定与性质互逆的关系上，自己写出定理，并加以证明）师：（板书）定理：对角线相等的平行四边形是矩形．定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．明确回顾互逆定理的概念，得出判定定理再加以证明，这也是探索的妙招．4．达标反馈（1）判断题①对角线互相垂直的四边形是菱形．（×）②对角线相等的四边形是矩形．（×）③有三个角是直角的四边形是矩形．（∨）|④一组邻边相等，一组对角相等的四边形是菱形．（×）⑤对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（∨）（2）填空题①平行四边形各角的平分线围成的四边形是矩形．②已知菱形的周长是52cm，一条对角线的长是24cm，则它的面积是120cm2．③已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB边上中线长为（3）证明题①求证：对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．（提示：证明相邻的两个三角形全等，近而邻边相等）②过△ABC的角平分线AD上的中点O，作EF⊥AD分别交AB、AC于E、F，连结DE、DF，求证：四边形AEDF是菱形．（提示：关键是|证明OE=OF）5．学习小结（1）引导学生作知识总结，证明了矩形、菱形的性质定理及判定定理，同时得到关于直角三角形斜边上中线的一条重要性质．（2）教师扩展：①不能忽视定义在证明中发挥的作用．②矩形、菱形是特殊的平行四边形，平行四边形的性质，它们都具备．（二）延伸拓展1．链接生活链接一：如果只有一根较长的绳子，你如何检查教室的门框（或方桌面）是不是矩形？解释其中的道理．链接二：现有一个对角线分别为30cm和20cm的菱形图案，请你用学过的知识设计一个由菱形组成的花边图案，使图案的长为75cm，宽为20cm．2．巩固练习（1）如图所示，四边|形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．（提示：连结BM、DM，BM=AC，DM=AC可证BM=DM．又由“三线合一”知MN⊥BD）

3（2）如图，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，问四边形BEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．（BEDF是菱形）（三）板书设计性质判定矩形定理_________定理___________定理_________定理___________菱形定理_________定理___________定理_________定理___________直角三角|形斜边上中线等于斜边的一半．证明……